Zusammenfassung: Bei der Spektralanalyse mittels FFT sind einige inhärente Nachteile schwer zu überwinden. Aufgrund der hervorragenden Eigenschaften von Resonanzbauteilen wird in diesem Beitrag das Resonanzprinzip zur Einzelfrequenzpunktdetektion und Spektralanalyse genutzt. Dazu werden die Entwurfs- und Simulationsformeln für den Resonator hergeleitet und experimentell verifiziert, wodurch die Machbarkeit des Ansatzes vorläufig demonstriert wird. Schlüsselwörter: Resonanz; Spektralanalyse; Entwurf; Simulation; FFT-Test eines Einzelfrequenzpunkts und Spektralanalyse mittels Resonanzprinzip. SHIXianfeng, GE Meiqing, ZHANG Xuezhi (School of Electronic Information Engineering, Xi'an Institute of Technology, Xi'an, 710032, China). Zusammenfassung: Die Spektralanalyse mittels FFT weist einige inhärente Nachteile auf. Aufgrund der hervorragenden Eigenschaften von Resonanzbauteilen werden in diesem Beitrag auf Basis des Resonanzprinzips Entwurfs- und Simulationsformeln zur Spektralanalyse bzw. Einzelfrequenzdetektion hergeleitet. Die experimentellen Ergebnisse belegen die Machbarkeit des Ansatzes. Die schnelle Fourier-Transformation (FFT) ist die am häufigsten verwendete Methode zur Signalspektrumanalyse. Die FFT weist jedoch einige unüberwindbare Probleme auf, die ihre Anwendung einschränken. Bei der praktischen Anwendung der FFT kann nur ein begrenzter Teil des Zeitsignals abgeschnitten werden, was zu „Leckagen“ führt [1]. Zudem besteht bei der FFT ein Widerspruch zwischen Frequenz- und Zeitauflösung, und die Varianzstabilität ist gering [2]. Resonatoren zeichnen sich durch hervorragende Wiederholgenauigkeit, Auflösung und Stabilität aus. Durch die Nutzung des Resonanzprinzips und die digitale Durchführung von Einzelfrequenz-Punktdetektion und Spektralanalyse lässt sich daher ein leistungsstarkes System zur Einzelfrequenz-Punktdetektion und Spektralanalyse entwickeln, das unabhängig vom Material des Sensorelements ist. 1 Grundprinzip Das Resonanzprinzip lässt sich durch die Schwingungseigenschaften des Resonators erklären. Im Betrieb kann der Resonator als Einmassenschwinger betrachtet werden (siehe Abbildung 1). Seine dynamische Gleichung lautet: Dabei ist m die äquivalente Masse des Schwingungssystems (kg); c der äquivalente Dämpfungskoeffizient des Schwingungssystems (Ns/m); k die äquivalente Steifigkeit des Schwingungssystems (N/m). Der Dämpfungskoeffizient bzw. die Dämpfungsrate wird als Dämpfungsverhältnis bezeichnet. Für ξ << 1 befindet sich das System in einem schwach gedämpften Zustand. Die Systemantwort ist wie folgt: Die Einschwingantwort ist eine gedämpfte Schwingung, deren Amplitude und Anfangsphase von den Anfangsbedingungen abhängen und deren Amplitude abklingt. Die stationäre Antwort ist eine harmonische Schwingung mit der Frequenz F. F₀/k ist die Verformung des Systems unter der statischen Last F₀, die als „statische Auslenkung“ bezeichnet wird. Die unter Einwirkung einer äußeren Kraft erzeugte Schwingung mit konstanter Amplitude ist hingegen eine „dynamische Auslenkung“. H(ω) = B/(F₀/k) wird als dynamischer Verstärkungsfaktor bezeichnet. Für λ ≪ 1 zeigt H(ω) an, dass die Systemamplitude annähernd der statischen Auslenkung entspricht, wenn die Anregungsfrequenz deutlich kleiner als die Eigenfrequenz des Systems ist. Wenn λ >> 1, strebt H(ω) gegen 0, da die Frequenz von F sehr hoch ist und das System aufgrund seiner Trägheit nicht mitschwingen kann. Bei λ ≥ 1 steigt B sprunghaft an, und es tritt Resonanz auf. [B]2 Systemdesign und -implementierung [B] Der Schlüssel zum Systemdesign liegt in: (1) der Berechnung der Parameter m, c und k des harmonischen Oszillators gemäß den Anforderungen; (2) der Realisierung seiner Reaktion auf das spezifische Eingangssignal nach der Auslegung der Parameter des harmonischen Oszillators. 2.1 Herleitung der Auslegungsformel des harmonischen Oszillators: Sind die Resonanzfrequenz ωr des harmonischen Oszillators und der Amplitudenverstärkungsfaktor Hm des Systems bei Resonanz gegeben, müssen seine äquivalente Masse m, sein äquivalenter Dämpfungskoeffizient c und seine äquivalente Steifigkeit k bestimmt werden. In der Technik wird der Betriebszustand, in dem die Amplitudenverstärkung des harmonischen Oszillators maximal ist, als Resonanzzustand definiert. Die Resonanzfrequenz lässt sich wie folgt beschreiben: Zur Vereinfachung der Berechnung und des Verständnisses kann k = 1 (N/m) gesetzt werden. In diesem Fall entspricht die „statische Auslenkung“ des Systems der Amplitude der äußeren Kraft F₀, und H_m ist der Amplitudenverstärkungsfaktor des harmonischen Oszillators für die angelegte äußere Kraft F(t) bei der Systemresonanz. Durch Lösen dieses Gleichungssystems erhält man Gleichung (6): In Gleichung (6) kann c auch wie folgt ausgedrückt werden: 2.2 Systemimplementierung Die wichtigsten Methoden zur Systemimplementierung sind: (1) Euler-Verfahren und dessen Verbesserungen. (2) Lineare Beschleunigungsmethode. (3) Newmark-β-Verfahren. (4) Wilson-θ-Verfahren [3]. Gemäß den nachfolgenden Experimenten liefert das Wilson-θ-Verfahren die besten Ergebnisse und wird daher im Folgenden detailliert beschrieben. Die Wilson-θ-Methode ist eine Variante der Methode der linearen Beschleunigung. Sie geht davon aus, dass sich die Beschleunigung linear von der Zeit t bis zur Zeit t + θΔt ändert. Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem: Durch Lösen verschiedener Methoden lassen sich unterschiedliche Formeln gewinnen. Hier wird eine Auswahl gängiger Formeln verwendet: Um den Rechenaufwand zu reduzieren, kann diese Formel weiter vereinfacht werden zu: Dabei sind a₁–₄, b₁–₄ und c₁–₄ Konstanten, die von k, m, c, Δt und θ abhängen. Da ihre Beziehung zu k, m, c, Δt und θ zu komplex ist, wird sie hier nicht angegeben. 3 Simulation und Experiment Um die Korrektheit der Entwurfsformel zu überprüfen, wurde ein Simulationsprogramm für einen harmonischen Oszillator in einer Mischprogrammierung mit VC++ und Matlab 6 entwickelt. Das Programm besteht aus drei Teilen: (1) Hauptschnittstelle für die Simulation, (2) Schnittstelle zur Einstellung der Eingangssignale, (3) Schnittstelle zur Berechnung der Systemparameter. Die Hauptfunktionen sind in drei Teile gegliedert: (1) Bewegungssimulation des harmonischen Oszillators (verschiedene Simulationsalgorithmen, darunter die vier oben genannten, stehen zur Auswahl). (2) Festlegung der Frequenzkomponenten und ihrer Amplituden des Eingangssignals F(t) (das Eingangssignal besteht aus ein bis sieben Sinussignalen beliebiger Frequenzen). (3) Berechnung der Resonatorparameter. Mit diesem Programm lassen sich Experimente zur Einzelfrequenz-Punktdetektion durchführen. Die Benutzeroberfläche ist in Abbildung 2 dargestellt. Zunächst wurde mithilfe von Gleichung (6) ein Resonator mit einer Resonanzfrequenz von 100 Hz und einem Hm83-Wert von 10 entworfen. Seine Parameter sind: m = 2,52 kg, c = 0,000158 Ns/m, k = 1 N/m. Die Amplituden- und Phasen-Frequenzgangkurven sind in Abbildung 3 dargestellt. Im ersten Experiment wird die Stabilität der einzelnen Simulationsalgorithmen überprüft. Für die Wilson-θ-Methode gilt θ = 1,40 und eine Eingangssignalfrequenz von 100 Hz. Die experimentellen Ergebnisse bei Variation der Abtastfrequenz sind in Tabelle 1 dargestellt. Wie aus den Ergebnissen hervorgeht, ist die Wilson-θ-Methode stabil, solange die Abtastfrequenz mehr als das Dreifache der Eingangssignalfrequenz beträgt. Die anderen Methoden wurden unter denselben Bedingungen getestet, zeigten jedoch weniger stabile Ergebnisse. Bei einer Abtastfrequenz von mehr als dem 50-Fachen der Eingangssignalfrequenz liegt der Simulationswert für Hm sehr nahe am Sollwert, was die Korrektheit der Berechnungsformel bestätigt. Daher wird die Wilson-θ-Methode in den folgenden Experimenten verwendet. Bei θ = 1,40 und einer Abtastfrequenz von 2000 Hz sind die experimentellen Ergebnisse bei Variation der Eingangssignalfrequenz in Tabelle 2 dargestellt. Die Ergebnisse zeigen, dass das Resonanzphänomen deutlich sichtbar ist, wenn sich die Eingangssignalfrequenz in der Nähe der Resonanzfrequenz ändert. Bei einer Eingangssignalfrequenz von 100 Hz und einer Abtastfrequenz von 2000 Hz sind die experimentellen Ergebnisse der Wilson-θ-Methode in Abhängigkeit von θ in Tabelle 3 dargestellt. Das Experiment zeigt, dass bei θ < 1,37 der simulierte Wert von Hm zwar näher am Sollwert liegt, das System jedoch instabil ist. Bei θ > 1,42 ist die Abweichung zwischen simuliertem und Sollwert von Hm größer, daher sollte ein geeigneter θ-Wert zwischen 1,37 und 1,40 gewählt werden. Durch direktes Anlegen des realen Signals an das Simulationssystem und die Wahl geeigneter Resonatorparameter lässt sich eine Einzelfrequenzdetektion realisieren. Für die Spektralanalyse können entsprechend der gewünschten Frequenzauflösung mehrere Resonatoren an verschiedenen Frequenzpunkten entworfen werden. Das Eingangssignal kann dann parallel an jeden Resonator angelegt werden, wobei die Funktionsweise jedes Resonators der eines einzelnen Resonators entspricht. 4. Schlussfolgerung Aus den obigen Experimenten und Analysen geht hervor, dass die Anwendung des Resonanzprinzips zur Einzelfrequenz-Punktdetektion und Spektralanalyse praktikabel ist und die in dieser Arbeit hergeleitete Formel zur Resonatorparameterauslegung korrekt ist. Die Wilson-θ-Methode ist ein hervorragender Simulationsalgorithmus. Solange θ > 1,37 und die Abtastfrequenz mehr als das Dreifache der Eingangssignalfrequenz beträgt, ist die Simulation stabil. Da diese Methode das Eingangssignal nicht abschneidet, treten bei der Spektralanalyse keine Leckagephänomene wie bei der FFT-Methode auf. Bei geeigneter Wahl der Resonatorparameter und Abtastfrequenzen spiegelt die Resonatoramplitude die Spektralkomponenten des Eingangssignals in der Nähe des entsprechenden Frequenzpunktes gut wider. Allerdings ist der Rechenaufwand bei der Spektralanalyse mit dieser Methode relativ hoch. Bei einer Eingangssignallänge von N und einer Anzahl von M Resonatoren sind bei Verwendung der vereinfachten Iterationsformel 12 × M × N Gleitkomma-Multiplikationen erforderlich. Da die Niederfrequenzresonatoren jedoch mit einer niedrigeren Abtastrate arbeiten können, lässt sich der Rechenaufwand entsprechend reduzieren. Referenzen: [1] Fan Shangchun, Zhou Haomin. Signal- und Testtechnik [M]. Peking: Beijing University of Aeronautics and Astronautics Press, 2002. [2] Hu Guangshu. Digitale Signalverarbeitung: Theorie, Algorithmen und Implementierung [M]. Peking: Tsinghua University Press, 1997. [3] Shang Tao, Shi Duanwei, An Ning. Visualisierung von Ingenieurberechnungen und Matlab-Implementierung [M]. Wuhan: Wuhan University Press, 2002. [4] Hong Shuizong, Fang Zhichu, Shan Xuexiong. Moderne Testtechnik [M]. Shanghai: Shanghai Jiaotong University Press, 2002. [5] Fan Yunxiao, Liu Hua. Testtechnik und Signalverarbeitung [M]. Peking: China Metrology Press, 2002. [6] Sophocles Orfanidis J. Einführung in die Signalverarbeitung [M]. Prentice-Hall, 1998. Quelle: Moderne Elektroniktechnologie